Ejercicio P1

Se considera el sistema de ecuaciones lineales, en función del parámetro a :\left\{\begin{align} x+2y+z= & \ 0 \\
                      -3x+2y-5z= & \ 2 \\
                      x+2y-az= & -1 \end{align}\right.

a) Clasificar el sistema según sus soluciones para los diferentes valores de a .
b) Resolver el sistema para a=-2

SOLUCIÓN:
a) En primer lugar, escribimos la matriz ampliada asociada al sistema:\overline{A}=\left( \left.\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \ \\ -3 & 2 & -5 \ \\ 1 & 2 & -a \ \end{matrix} \right | \begin{matrix} \ 0\ \\ \ 2
                        \\ -1 \ \end{matrix}\right ) Calculamos el determinante de A, para ver cuándo es cero:\left |A \right |=\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1\ \\ -3 & 2 & -5\ \\ 1 & 2 & -a \ \end{matrix} \right | = -2a-10-6-2+10-6a
                        = -8a-8 Por lo tanto, \left|A\right| = 0 cuando a=-1.
Estudiamos los casos por separado:

# Si a=-1:
El rango de A es 2, ya que \left|A\right| = 0 pero el menor \left| \begin{matrix} 1 & 2 \ \\ -3 & 2 \ \end{matrix} \right | =8 \neq 0.
Ampliamos ese menor para estudiar el rango de \overline{A}: \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 0\ \\ -3 & 2 & 2\ \\ 1 & 2 & -1 \ \end{matrix} \right | = -2+4-0-0-4-6=-8 \neq 0 Por lo que el rango de \overline{A} es 3. Al ser los rangos distintos, el sistema es INCOMPATIBLE.

# Si a\neq -1:
En este caso el rango de A es 3, ya que \left|A\right| \neq 0 y el rango de \overline{A} también es 3, ya que solo tenemos tres filas y no puede ser mayor. Como también tenemos 3 incógnitas, en este caso el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO.

b) Para a=-2 tenemos:  \overline{A}=\left( \left.\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \ \\ -3 & 2 & -5 \ \\ 1 & 2 & 2 \ \end{matrix} \right | \begin{matrix} \ 0\ \\ \ 2\ \\ -1 \ \end{matrix}\right ) Hacemos el sistema escalonado cambiando la segunda fila por F_{2}-F_{1} y la tercera fila por F_{3}-F_{1}, resultando:  \overline{A}=\left( \left.\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \ \\ -4 & 0 & -6 \ \\ 0 & 0 & 1 \
                        \end{matrix} \right | \begin{matrix} \ 0\ \\ \ 2\ \\ -1 \ \end{matrix}\right ) \Longrightarrow \left.\begin{align} x+2y+z=0 & \\ -4x-6z =2 & \\ z=-1 \end{align} \right\} Sustituyendo el valor de z en la segunda ecuación obtenemos:  -4x+6=2 \Rightarrow x= 1 y con este, en la primera, 1+2y-1=0 \Rightarrow y=0, es decir, \boxed{\ x=1 \ ,\  y=0 \ ,\  z=-1 \ }