MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS 2º BACH.

Una empresa utiliza 4 horas de trabajo de electrónica y 2 horas de trabajo de montaje por cada televisor LED que fabrica, y 3 horas de electrónica y 1 hora de trabajo de montaje por cada televisor QLED. La empresa dispone de un máximo de 2400 horas de trabajo de electrónica y un máximo de 1000 horas de trabajo de montaje. Para satisfacer la demanda, la empresa debe fabricar al menos 200 televisores QLED. El beneficio obtenido en cada televisor LED es de 70 € y en cada televisor QLED es de 50 €.
Utilizar técnicas de programación lineal para determinar el número de televisores de cada tipo que la empresa debe fabricar para que el beneficio sea máximo, así como el beneficio máximo.

SOLUCIÓN:

Llámamos:
$x=$ número de televisores LED
$y=$ número de televisores QLED

Tenemos las siguientes restricciones:
$\left. \begin{align} \text{Horas de trabajo de electrónica: } & \Longrightarrow 4x+3y \leq 2400 \\[0,5em] \text{Horas de trabajo de montaje: } & \Longrightarrow 2x+y \leq 1000 \\[0,5em] \text{Por demanda: } & \Longrightarrow y \geq 200 \\[0,5em] \text{Además, tenemos: } & \phantom{\Longrightarrow \quad} x\geq 0,\ y \geq 0 \end{align} \right\}$
Por otra parte, la función de los beneficios, que queremos maximizar, es $B(x,y)=70x+50y$.

Hallamos las rectas $\begin{align}4x+3y & = 2400 & \qquad 2x+y & = 1000 \\[1em] x \quad & | \quad y & \qquad x \quad & | \quad y \\ \hline 0 \quad & | \quad 800 & \qquad 0 \quad & | \quad 1000 \\ 600 \quad & | \quad 0 & \qquad 500 \quad & | \quad 0 \\ \end{align}$ Representamos la región factible:

La función de los beneficios que queremos optimizar era $B(x,y)=70x+50y$ Como el máximo se alcanza en un vértice de la región factible, la evaluamos en los vértices:

$B(0,200)=50\cdot 200 = 10000\\ B(400,200)=70\cdot400+50\cdot200=38000\\ B(300,400)=70\cdot300+50\cdot400=41000\\ B(0,800)=50\cdot800=40000$