Ejercicio P3

Dada la función: f(x)=\left\{\begin{align} x^2-3x+2 & \quad x \leq3 \\ 3x-2m & \quad x \gt 3 \end{align} \right.

a) Hallar el valor de m para que la función sea continua en todos los números reales.

b) Para m=-1, calcular el área limitada por la gráfica de la función f(x) y el eje OX en el intervalo \left[5,7\right].

SOLUCIÓN:

a) Tanto x^2-3x+2 como 3x-2m son continuas en todos los números reales por ser funciones polinómicas. Estudiamos entonces el punto x=3:
\begin{align}& \lim_{x\to3^-}f(x)=\lim_{x\to3^-}(x^2-3x+2)=2 \\[0,5em] & \lim_{x\to3^+}f(x)=\lim_{x\to3^+}(3x-2m)=9-2m \\[0,5em] & f(3)=3^2-3\cdot3+2=2 \end{align} Para que f(x) sea continua en x=3, esos 3 valores deben ser iguales, por lo que: 9-2m=2\\ \boxed{m=\dfrac{7}{2}}

b) Si m=-1 la función en el intervalo \left[5,7\right] es: 3x+2 . Estudiamos primero si corta al eje OX en ese intervalo:
3x+2=0 \\ x=-\dfrac{2}{3} Dicho punto no está en el intervalo \left[5,7\right], por lo que el área pedida será la integral definida: \left|\int_{5}^{7}(3x+2)dx\right|=\left|\left[\dfrac{3x^2}{2}+2x \right ]_{5}^{7}\right| que, por la Regla de Barrow, es: \left|\left(\dfrac{3\cdot7^2}{2}+2\cdot7 \right) -\left(\dfrac{3\cdot5^2}{2}+2\cdot5 \right)\right|=\\[1,5em] \left|\dfrac{147}{2}+14-\dfrac{75}{2}-10\right|=40 De modo que el área comprendida entre f(x) y el eje OX en el intervalo \left[5,7\right] es: \boxed{A= 40 \ u^2.}