Ejercicio P4

La temperatura adecuada para el desarrollo vegetativo en el cultivo de tomates no debe exceder los 23 grados Celsius (ºC) y en ningún caso debe bajar de 7 ºC. La siguiente función expresa la temperatura, en grados Celsius, el día 14 de agosto en una zona de cultivo: 
 T(x)=\dfrac{-1}{14}x^2+2x+10
 donde x\in \left[0,24\right] es la hora del día.

a) Determinar a qué hora de ese día se alcanza la temperatura máxima y si esta supera los 23 ºC.

b) ¿La zona de cultivo tuvo una temperatura inferior a los 7 ºC el 14 de agosto?

SOLUCIÓN

a) Primero hallamos la derivada, para saber los puntos críticos (posibles máximos y mínimos):
T'(x)=\dfrac{-1}{7}x+2
que se anula en x=14.
Hallamos ahora la segunda derivada para saber si es un máximo o un mínimo: 
T''(x)=\dfrac{-1}{7}
que es menor que 0 para todos los números naturales, por lo que x=14 es un máximo. Hallamos la temperatura correspondiente a esa hora:
T(14)=-14+28+10 = 24

Por lo tanto, la temperatura máxima se alcanza a las 14 h. y es de 24 ºC, es decir, sí supera los 23 ºC.

b) Igualamos T(x) a 7 para ver si eso ha ocurrido en el día:
                    \dfrac{-1}{14}x^2+2x+10=7 \\ 
                    \dfrac{-1}{14}x^2+2x+3=0 \\
                    x^2-28x-42=0
                    Resolviendo esa ecuación obtenemos: 
                    x=\dfrac{28\pm \sqrt{784+168}}{2}=14\pm \sqrt{238} \approx 14\pm 15,4
                    Ninguno de los dos valores, ni -1,4 ni 29,4, está en el intervalo \left[0,24\right], por lo que la temperatura 7 ºC no se alcanza ese día ni, por lo tanto, ninguna temperatura inferior a esa.