Ejercicio P6

Las pruebas realizadas de un nuevo modelo de teléfono móvil aseguran que la ley de probabilidad de la vida útil del teléfono sin averías (en meses) es normal de media 32 meses y desviación típica 12,5 meses. La campaña de lanzamiento del nuevo modelo ofrece la sustitución gratuita del móvil por cualquier avería aparecida en los primeros 4 meses.

a) Calcula la probabilidad de que haya que sustituir un móvil adquirido durante la campaña de lanzamiento.

b) Si una tienda vende 64 teléfonos móviles del nuevo modelo el primer día de la campaña, determinar la probabilidad de que el tiempo medio sin averías de esos móviles sea superior a 36 meses.

SOLUCIÓN:

Llamamos X a la variable:
X = Vida útil del teléfono sin averías (en meses).
Nos dicen que X sigue una distribución normal N(32; 12,5) .

a) Nos preguntan P(X\leq 4) ya que, si la vida útil es menor de 4 meses, hay que sustituir el móvil.
Tipificamos la variable Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma} y nos queda:
P\left(Z \leq \dfrac{4-32}{12,5}\right) = P(Z \leq -2,24) = P(Z \gt 2,24) =\\[0.5em] 1-P(Z \leq 2,24) En la tabla encontramos que P(Z \leq 2,24) = 0,9875 de modo que: P(X\leq4)=1-0,9875 \ \Rightarrow \ \boxed{\large{P(\leq4)=0,0125 \ }}
b) La media de las muestras de tamaño 64 sigue la distribución normal \overline{X}: N\left(32; \dfrac{12,5}{\sqrt{64}}\right)=N\left(32; 1,5625\right) . Nos piden P\left(\overline{X}\gt36\right).
Tipificamos la variable Z = \dfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} y nos queda:
P\left(Z \gt \dfrac{36-32}{1,5625}\right) = P(Z \gt 2,56) =\\[0.5em] 1-P(Z \leq 2,56) En la tabla encontramos que P(Z \leq 2,56) = 0,9948 de modo que: P(\overline{X}\gt36)=1-0,9948 \ \Rightarrow \ \boxed{\large{P(\overline{X}\gt36)=0,0052 \ }}